25-26 年度研究总结

2025-2026 学年是我 PhD 项目的第二年。之前的第一年可谓是灾难性的：一开始随便考了一次博资考结果啥也没考过，直接自信心原地爆炸了，毕竟我在硕士期间已经考过麦迪逊的考试了；之后发现想跟的老师 Beren Sanders 不空无法指导，然后再叠加上申请的巨大遗憾，第一个学期一直在犹豫要不要退学重新申请。

后来第二学期外部形势急剧恶化，各种风风雨雨以至于闹到了搬了个床到办公室睡，之前对未来发展的期望基本上全破灭了，焦虑达到了巅峰，于是在朋友劝说下开始找实习，然后不出意外的折戟沉沙了。

“我怎么觉得有数学学历的人找技术工作，比进去过的还难？”

——我说的

“你会用计算机么？”

——某面试官

第三学期我则去开其他线去了，跟着隔壁系新来的老师 Kyle Miller 学习 Lean 形式化相关的东西，也使得这第一年不算毫无收获。

不过当时启动的项目在做完一次课程报告之后就鸽在那里没动了。我希望 2027 年 3 月份去 SLMath 项目的时候能有所突破。

Yeeee，等等，第三学期是什么东西？

……对，我们加州大学系统除了 Berkeley 和 Merced，全都是天怒人怨的 quarter 制，每学年有三个等长的学期，被寒假、春假、暑假分隔开。这样的安排简直失败极了，研究生院一般开不出任何有深度的课，大家也都被每学期开学和期末的教学事务搞得鸡犬不宁，教的本科生也什么也学不懂，大家都有光明的未来。真不知道哪个大聪明发明的这种滞涨学制。

到了第二学年开始前，我误打误撞地通过了所有的博资考笔试。我完全没料到能有这么顺利，一夜穿三说是。正逢老师也空下来了，我于是终于可以开始跟着入门然后尝试做点东西了。

不过这个过程也不顺利，中间我多次觉得我简直马上就要做不下去然后被劝退开除了。为了排解焦虑，在进度卡住的情况下，我也去整了点技术，UnionSpectra 集群和这个博客都是在这段时间里发展出来的（相关博客还在写，锐意写作中）。这样一看，我真的摸了不少鱼……

本文回顾了这一年我学习和研究的经历。

入门

就像所有人刚起步时那样，我尝试阅读一些领域内的经典论文。

我开始入门的这个方向叫张量三角几何（tensor triangular geometry，简称 tt-geometry）。师祖 Paul Balmer 在 2005 年引入了它的核心研究对象——张量三角范畴上的素谱 [Bal05]，这个构造非常类似于现代代数几何所讨论的素谱。这个方向连接着代数几何、稳定同伦论和模表示论这几个看似相差甚远的领域，综述见 [Bal11]。

稳定化同伦的思想总是在各种意想不到的地方出现：既出现在稳定同伦论中“对空间做同调代数”这样极具启发性的做法里，也在代数几何考虑的层复形的导出范畴中涌现。三角结构提供了悬挂和映射锥的抽象，结合张量、闭结构和适当的有限性假设，还能使用内部同态、Brown 可表示性和 Bousfield 局部化等丰富的工具。它们为这些领域中各种同调代数构造提供了一套共同的语言。

在此之上，张量三角范畴（tensor triangulated category）额外考虑了一个和三角结构兼容的对称幺半运算，即这里所谓的“张量”。这样的结构在各种导出数学，比如稳定同伦论和导出代数几何里，已经有了非常多的例子，比如说谱之间的 smash product，以及层复形的导出范畴的导出张量积。

到了 20 世纪 90 年代，对这类范畴的研究已经发展出了相当系统的公理化框架 [HPS97]，并且也有了一些非常深刻的计算结果，比如 Hopkins-Smith的厚子范畴分类定理 [HS98],以及 Hopkins-Neeman-Thomason对拟紧拟分离（QCQS）概形 上的完美复形 的厚张量理想的分类 [Tho97]。

不过让这些极度复杂的范畴变得更可研究可计算的构造，也是赋予它“几何”之名的一步，是这个“范畴的素谱” [Bal05]。

我们来考虑一个启发性的例子。考虑 的导出范畴 。若 为两个不同的素数，那么这两个非零对象的张量积 ——归零了。一个脑洞极大的理解是，对象之间的张量代表对象“支撑”的交集，而它们分别支撑在不同素数处，因而交集为空。如果注意力惊人，这个几何直觉还能推广到其他的张量三角范畴常见事物上：零对象 的支撑应该是空集，单位对象 的支撑应该是全集，有限直和对应支撑的并集，映射 的映射锥的支撑应该包含于两个对象 和 的支撑的并集，而悬挂不应改变支撑。

不过这些期望的性质能同时实现么？这个作为几何舞台的“空间”又是什么？

Balmer 的做法是，将范畴中的厚张量素理想作为空间的点。注意，Balmer 的素谱首先针对本质小的张量三角范畴定义，因此这里把 缩小到其完美复形子范畴 。这个缩小版已经足够承载刚才的例子了。

以这些支撑集作为闭集基，便得到了空间 上的拓扑，于是我们真的得到了一个几何空间，而且这个定义恰好满足前面提的要求。

怎么大家就这么喜欢谱（spectra）这个名字呢？19 世纪的显学 PDE 里有算子的“谱”，代数几何有素理想或者极大理想的“谱”，代数拓扑也还有一个“谱”。这个名字到底有什么魔力，贡献了一大堆术语混淆。最后我也打不过加入了。

更美好的是，我们可以通过一些手段从这个玄之又玄的抽象构造中恢复熟悉的几何。对于刚才的例子，我们有：

我们最初用来理解张量积归零的几何脑洞就这样在范畴内部被实际构造了出来。

不过这学期没等我开开心心读多少论文，一天，我去北边和人吃饭，回来路上一辆刹不住的挂逼车追尾创飞了我。

车尾防撞梁吸收了能量，被整个撞凹进去了，剩余的能量还让尾门变形了。巨大的冲击力还撞坏了我打包的麻辣烫……

而且更坏的是，肇事方没有保险。

在暑假结束的时候，我感觉冥冥之中一个声音告诉我，该把交强险升级成全面赔付的碰撞险；然后那天晚上，又感觉冥冥之中一个声音告诉我，一定要给剩菜套两层袋子……

这导致我一整个第一学期都在惊恐和魂不守舍中度过，心惊胆战地和保险公司和修车厂打交道，读论文基本上没有进展。

第二学期，我主要在读 [HPS97]、 [Nee01] 和 [Kra10]，以期把之前本来也学得不扎实、硕士最后一学期基本上忘光了的三角范畴相关内容给补回来。实际上我感受到，三角范畴学真是博大精深，一路向上能隐隐约约摸到世纪之交无穷范畴理论的曙光，硕士时学的那一丁点儿实际上完全不够用。

文献调查

在花了一整个第二学期漫无目的地推那几本书之后，我有点急了，希望能找到一个自己能入手的问题。之前读的所有内容感觉一直虚无缥缈，包括这些谱、素理想和支撑。我知道这大概和我缺乏严格的代数几何训练有关，但是现在也没时间从头学起了。

我开始尝试做一些计算，比如之前提到的 ，取一个投射分解，就能直接计算这个导出张量积，然后能直观看到之前提到的张量三角素谱恢复环的素谱的结论。亲手算过之后，我感觉之前看张量三角谱和“支撑”概念时，那种 unreal 的感觉逐渐消失落地了。

同一时期，看我前两个学期半死不活进度缓慢，老师估计也急了，建议我换一种读论文的办法：选取十篇十五篇核心文章，只读摘要和引言，快速搞清楚每篇文章的问题、目标，以及和其他工作的关系，形成一个论文图谱。

老师：哈哈你现在这个 B 样子让我想起我刚开始读博的时候……

这个策略相当有效：之前我总急着精读文章和专著，希望能尽快进入研究上下文、获得直观和常见工具，但是一直看不进去，缺乏读下去的动机；现在先知道文章要解决什么，再带着问题回去查书，阅读就舒服了不少；在几篇相关文章之间转一圈，之前卡滞便秘的思维也能重新顺畅起来。 学术文本的确和一般顺着读的普通文本大相径庭，它应该以一种更结构化的方式被对待。

从前述 [Bal05] 的素谱和根厚张量理想分类出发， [Bal10] 进一步构造了比较映射 ，将 Balmer 谱的研究与单位对象自同态环的交换代数联系起来。另一方面，[Bal18] 揭示了谱映射的满射性和态射的张量幂零检测之间的关系； [San25] 则证明，全忠实几何函子诱导具有连通纤维的谱商映射。

很多常见且重要的张量三角范畴并非本质小，比如稳定同伦范畴 。对于刚性紧生成的大范畴，紧对象组成一个本质小的张量三角范畴，其 Balmer 谱提供了一个自然的几何空间，基于此已经可以做很多工作；另一方面，能否进一步在大范畴内对任意对象建立支撑，并借此研究整个范畴的局部化张量理想，是接下来一个自然的问题。 [HPS97] 关于紧性、可表性与局部化的公理化研究，为此提供了基本语言。此后的大范畴支撑理论形成了两条互相联系的路线： [BIK08]、[BIK11] 借助分次交换 Noether 环在紧生成三角范畴上的作用，构造局部上同调和支撑，以该环的齐次素谱为支撑空间，并提出分层条件以研究局部化子范畴的分类。与此并行， [BF11] 从紧对象的 Balmer 谱出发，利用张量幂等元，在适当的拓扑条件下将支撑推广到任意对象。 [Ste13] 进一步发展了张量三角范畴作用的支撑理论，将环作用的思想提升到范畴作用的层次，并研究了相应的局部——整体原理。

[BHS23a] 承接上述工作，以 Balmer-Favi 支撑为基础，系统发展了刚性紧生成张量三角范畴的分层理论。在紧对象的谱弱 Noether 的条件下，分层可由局部——整体原则与各点处的极小性刻画；分层成立时，支撑给出局部化张量理想与该谱的任意子集间的一一对应。这一框架无须预先选定辅助环的作用，并被用于某些谱 Mackey 函子范畴的分类。与此相关， [BHS23b] 比较了同调支撑和 Balmer-Favi 支撑，证明在上述分层情形下，同调谱到 Balmer 谱的自然比较映射为同胚，两种支撑亦在此同胚下一致。这使得两种不同路线的支撑构造，在分层框架下得到统一解释。

之前提到的对几何函子还可以从伴随与对偶的角度理解。 [BDS16] 考查刚性紧生成张量三角范畴之间保持任意直和的张量正合函子，刻画其伴随链延伸的条件，并通过相对对偶化对象描述各伴随之间的关系，从而将经典的 Grothendieck-Neeman 对偶与 Wirthmüller 同构置于统一的框架之中。这也为比较不同数学背景下的换底和对偶现象提供了共同的语言。

参数化谱的张量三角范畴

最后，在老师的提议下，我从 [BDS16] 的语言出发，试图将这套刚性紧生成张量三角范畴和几何函子的框架，应用到 [MS06] 所引入的参数化稳定同伦范畴上。

这套语言的核心对象是：

后文将这一条件简称为 r.c.g.。在此情景下，我们有一些漂亮的结论，比如：

这样的一个对偶性结果无疑是强大的——伴随函子、投影公式和对偶化对象正是 Grothendieck 对偶、Verdier 对偶、庞加莱对偶等大家熟悉的对偶现象背后的共同本质。如果我们能把这些结果应用到一个有趣的范畴上，大概可以将更多看似分立的现象集中到一个框架下。

事实上， -单位元 的紧致性和“每个刚性对象都紧致”等价，所以在验证 r.c.g 性质的时候，我们常用检查：

1. 范畴紧生成（特别地，具有任意小余积）；
2. 单位元 紧致；
3. 紧对象都刚性。

有了这个方向之后，首先我需要在 [MS06] 中寻找合适层级的范畴作为“参数化谱的张量三角范畴”。

May 的工作充满了庞大的技术细节，给我一种二十世纪代数拓扑 machinery 的巅峰的印象。不过因为 May 使用的模型在现在已经有了更现代的工作语言，我所关心的张量三角几何问题也重在寻找适当层次的抽象，为了避免把时间都花在搞明白每一个点集层面的细节上，我并未尝试系统学习 May 的理论，而是尝试收集一些我能拼凑的结论，看看能不能暗度陈仓。

非要成为某个细分方向的专家才能开始研究么？

以前出于学生时代的思维惯性，我总认为只有先像一个用功的学生一样对研究领域的所有既有知识、技巧和细节了如指掌，才能产生有价值的问题并有效率地推进研究。

在我开始自己的研究之后，我对这个问题的理解发生了改变。虽然现在仍然没有实际成果能证明我这条路走得下去，我的确开始体会到，多尝试拼凑东西偷点家，时间一长，自然就会对各种细节逐渐熟练。专家大概也是长时间浸淫在对实际问题的研究中才形成的。

这也和之前一些过来人反复给我的建议一致：大家都是从糊里糊涂照猫画虎开始的，没有人是“基础牢固”之后才开始的。

以下只讨论非等变情形。除另有说明，换底函子 、张量积、内部同态及纤维均在导出意义下理解。

直观地说，参数化谱是一族以底空间上的点为参数的谱，带有沿路径的输运，而且这些输运与路径的同伦以及更高同伦相容。 [MS06] 厘清了参数化谱背后相关的点集拓扑细节，用正交谱这一模型构造了谱范畴 并赋予稳定模型结构。这里我们只关心 的同伦范畴，后称 。我们有：

这样我们就找到了作为舞台的张量三角范畴。

此外，对于各类“底空间之上”的数学对象，各类换底函子是很自然也很有用的研究对象。 也不例外。对于态射 ， [MS06] 构造了以下换底函子：

在同伦范畴层面，这些换底函子满足：

这些东西让我回想起了硕士期间折腾的层复形的导出范畴上的六函子。当我想不明白的时候，那些 和 上的叹号仿佛在朝我尖叫。

有了换底函子，我们可以描述 的一组紧生成元。对每个点 ，我们仍以 表示到该点的含入映射。令

其中 是普通的 维球谱。

这里 表示包含 的最小局部化子范畴，即还对任意小余积封闭的厚三角子范畴。

路径空间灾变

上一节已经证明 是紧生成的张量三角范畴。为了验证它满足 r.c.g. 条件，我们还需要检查：

1. 张量单位元 紧致；
2. 每个紧对象都是刚性的。

单位元的紧性并不对任意底空间成立，例如无限离散空间就会造成问题。不过，若将 限定为有限 CW 复形，这一条件便可满足。

事实上，我们有：

现在，若 是有限 CW 复形，那么

可以从作为截面的那份 出发，通过添加有限多个胞腔，构造出另一份 。因此， 相对于截面 具有有限胞腔结构。因此，其参数化悬挂谱

在 中同构于有限胞腔谱（详见 [LM18, § 7]），由上述定理可知它是紧对象。

接下来我们要验证：每个紧对象都是刚性的。首先，紧生成对象子集 给我们提供了控制整个 的手段。由紧生成范畴的一般结论 [MS06, 13.1.14]，

而刚性对象组成厚子范畴，因此要让所有紧对象都刚性，等价于让生成集 中的所有对象都刚性。

[MS06] 给出了刚性的逐纤维判定条件：

在普通的稳定同伦范畴 中，刚性对象恰好是有限谱。因此，我们只需检查每个生成元的每个导出纤维是否为有限谱，也就是计算

到这里，我原以为已经胜券在握：剩下的似乎只是一些具体计算。

结果一算不得了了：

然后我就嘎巴一声死在这了。啊？路径空间的悬挂谱？劲儿大，无须多言。原来看起来很小，我以为只是一个 skyscraper 的生成元，其纤维里竟装入了整个路径空间的稳定同伦信息。这简直大到没边儿了，想要它成为有限谱几乎难如登天。事实上，不妨假设 路径连通，那么 和 之间的路径 可以诱导基点变换同伦等价

所以

由于移位不改变谱的有限性，所以这些纤维是否有限归结为一个问题：环路谱 是否有限。而在我们关心的底空间为连通有限 CW 复形的情况下，只有可缩的底空间才符合这个要求。

注意，为了让上面的证明能工作，有限 CW 复形的条件不能删去。无限情形下这个论证是可能会失效的！例如 ，有纤维化

因为 可缩，由 [Hat02, 4.50]， 。于是乎

这玩意儿是有限谱，所以刚性。但是 不可缩。

结合前面的论述，我们得到：

我本来想着，至少可以从 中挑出一部分刚性对象，再考虑由它们生成的子范畴作为补救。现在看来，在非可缩的连通有限 CW 情形下，这组生成元嘎巴一下全被干死了。

之后的路

这么一个否定直接把初出茅庐的我干自闭了，整个暑假除了在给 TeaCon 打工，就是在折腾 sHoTT 暑校，根本不知道怎么往下做。不过，一上来把老师提供的思路用一个反例干碎，可能也算是博士生涯的一个良好的开始吧……

不过冷静下来仔细想想的话，我之前的论证主要基于

我否定了左边，那我得到的其实是

那么，在行为不好的 中寻找非平凡的r.c.g. 子范畴仍然是值得尝试的方向。希望我今年能有些有意思的进展吧。

本文主定理“路径空间灾变”这个名字是在捏他紫外灾变。不过遇到了理论上的困境总是令人兴奋的：成功应用 r.c.g. 框架本也不是什么值得称道的事；现在遇到了问题，万一我就发现了什么更精细的新理论了呢？

这个完稿时间改了又改，从 2026/09/?? 改成 10/??，最后现在变成 2026/11/01。

不过在这个很长的整理过程中，我也收获挺多。在开始这个整理之前，特别是在暑假快结束的时候，我一度认为我的整个第二年基本上都被浪费了、再这么下去我即将被退学，整天惶惶不可终日。不过这么一整理下来，我发现这一年我也没有那么不堪。

我感受到，不管做的东西到底有没有价值，总之把它记下来总是没有坏处的——至少已经有心理上的益处了。

与此同时，这篇文章也是新一代的 + Leptos 博客架构用于重度数学排版的首次集成测试，我针对使用体验做了很多有效改进。这可能也是我第一次真正写下属于自己的数学，而且还用的是自己从头做的排版环境，的确意义重大（笑）。

🔏 Jack Wang @ Santa Cruz, CA, PST 2026/11/01

参考文献